Backpropagation Details

反向传播（Backpropagation）

反向传播是一种用于训练人工神经网络的算法，特别是在深度学习中很常用。它通过计算神经网络的预测结果与实际结果之间的误差，进而调整网络中的权重和偏置，以最小化预测误差。

工作原理：

1. 前向传播：将输入数据传递到网络的每一层，经过一系列的线性变换和非线性激活函数，最终输出预测结果。

2. 计算误差：将预测结果与实际结果进行比较，计算损失函数（如均方误差或交叉熵）的值，即误差。

3. 反向传播误差：通过链式法则（链式求导），将误差从输出层逐层向回传播，计算每个神经元对最终误差的贡献（即偏导数）。

4. 更新权重：根据计算出的偏导数，使用梯度下降算法或其他优化方法调整网络的权重和偏置，以减少误差。

例子：

假设我们有一个简单的三层神经网络用于分类任务：

• 输入层：有两个节点，表示两个输入特征。

• 隐藏层：有两个节点。

• 输出层：有一个节点，表示二分类问题的预测结果。

步骤：

1. 前向传播：

   • 输入两个特征 ($x_1, x_2$)。

   • 权重 $w_1, w_2$ 和偏置 (b) 将输入线性组合后传递给隐藏层节点，并应用激活函数（如 ReLU 或 Sigmoid）。

   • 隐藏层输出传递给输出层，再次经过线性组合和激活函数后，输出预测值 $\hat{y}$。

2. 计算误差：

   • 使用损失函数计算实际值 $y$ 和预测值 $\hat{y}$ 之间的误差。例如，如果损失函数是均方误差（MSE），则误差为： $\text{Loss} = \frac{1}{2}(\hat{y} - y)^2$

3. 反向传播误差：

   • 通过链式求导，计算输出层到隐藏层、再到输入层的各个权重的偏导数。这些偏导数表示每个权重对最终误差的贡献。

4. 更新权重：

   • 使用梯度下降法调整权重： $w_{\text{new}} = w_{\text{old}} - \eta \frac{\partial \text{Loss}}{\partial w}$ 其中，$\eta$ 是学习率。

通过不断进行多次前向传播和反向传播，神经网络会逐步学会减少误差，从而提高预测的准确性。

这个过程可以扩展到更深的神经网络和更多的复杂问题。

如何计算 $\frac{\partial \text{Loss}}{\partial w}$

在反向传播中，$\frac{\partial \text{Loss}}{\partial w}$（即损失函数对权重 $w$ 的偏导数）是通过链式法则计算得出的。这个偏导数告诉我们权重的变化会对损失函数产生多大的影响，从而帮助我们更新权重，减小误差。

1. 损失函数对输出的导数

假设我们使用均方误差（MSE）作为损失函数，定义为：

$$\text{Loss} = \frac{1}{2}(\hat{y} - y)^2$$

其中，$\hat{y}$ 是神经网络的预测值，$y$ 是真实值。

对 $\hat{y}$ 求导数，得到：

$$\frac{\partial \text{Loss}}{\partial \hat{y}} = \hat{y} - y$$

2. 输出对权重的导数

假设神经网络输出 $\hat{y}$ 是通过线性组合输入和权重得到的，即：

$$\hat{y} = w \cdot x + b$$

其中，$w$ 是权重，$x$ 是输入，$b$ 是偏置。

现在，我们对 $w$ 求导数：

$$\frac{\partial \hat{y}}{\partial w} = x$$

这意味着输出 $\hat{y}$ 对权重的导数等于输入 $x$。

3. 链式法则

现在，我们可以通过链式法则，将损失函数对权重的偏导数计算出来：

$$\frac{\partial \text{Loss}}{\partial w} = \frac{\partial \text{Loss}}{\partial \hat{y}} \cdot \frac{\partial \hat{y}}{\partial w}$$

代入之前的公式，得到：

$$\frac{\partial \text{Loss}}{\partial w} = (\hat{y} - y) \cdot x$$

这表示，权重的更新是基于预测误差 $(\hat{y} - y)$ 和输入 $x$ 之间的乘积。

4. 权重更新

最后，使用梯度下降法更新权重：

$$w_{\text{new}} = w_{\text{old}} - \eta \cdot \frac{\partial \text{Loss}}{\partial w}$$

其中，$\eta$ 是学习率，决定了权重更新的步长。

总结

$\frac{\partial \text{Loss}}{\partial w}$ 可以通过以下步骤得出：

1. 先计算损失函数对输出的导数 $\frac{\partial \text{Loss}}{\partial \hat{y}}$。

2. 再计算输出对权重的导数 $\frac{\partial \hat{y}}{\partial w}$。

3. 最后通过链式法则将这两个导数相乘，得到损失函数对权重的偏导数。

这个过程可以扩展到更加复杂的神经网络，每一层的权重都可以通过类似的方式进行更新。